曲線の長さ 証明 大学 6

また、公式の証明や問題の解き方なども説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!, 面積や体積がそれらの導関数を積分して求められるように、曲線の長さ(弧長)も積分を利用して求めることができます。, 曲線が媒介変数表示されている場合と、陽関数表示されている場合の 2 通りの公式があります。, 媒介変数表示とは、ある変数同士 (\(x, y\) など) の関係を別の変数を介して表すことです。, 一方、陽関数表示とは、\(y = f(x)\) のように一方の変数を決めるともう一方も決まるように表すことです。, とっつきにくいように見える公式ですが、「三平方の定理で斜辺を求める」とイメージすると簡単です。, 【\(\bf{x = f(t), \, y = g(t) \, (\alpha \leq t \leq \beta)}\) で与えられた場合】, \(t\) が \(\Delta t\) 増えたときの \(x\) の増分を \(\Delta x\)、\(y\) の増分を \(\Delta y\)、曲線の長さの増分を \(\Delta s\) とする。, \(\Delta t\) が十分に小さいとき、\(\Delta s\) は他の 2 辺が \(\Delta x\), \(\Delta y\) である直角三角形の斜辺と近似できるので、三平方の定理より, \(\Delta s ≒ \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\), \(\Delta t\) と \(\Delta s\) は同符号であるから、両辺を \(\Delta t\) で割ると, \(\displaystyle \frac{\Delta s}{\Delta t} ≒ \sqrt{ \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta t} \right)^2}\), \(\Delta t \to 0\) のとき、両辺の差は \(0\) に近づくから, \(\displaystyle \frac{ds}{dt} = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2}\), これを \(t = \alpha\) から \(t = \beta\) まで積分したときの曲線の長さ \(L\) は, \(\color{red}{\displaystyle L = \int_\alpha^\beta \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt}\), 【\(\bf{y = f(x)\, (a \leq t \leq b)}\) で与えられた場合】, \(x\) が \(\Delta x\) 増えたときの \(y\) の増分を \(\Delta y\)、曲線の長さの増分を \(\Delta s\) とする。, \(\Delta x\) が十分に小さいとき、\(\Delta s\) は他の 2 辺が \(\Delta x\), \(\Delta y\) である直角三角形の斜辺と近似できるので、三平方の定理より, \(\displaystyle \Delta s ≒ \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\), \(\Delta x\) と \(\Delta s\) は同符号であるから、両辺を \(\Delta x\) で割ると, \(\begin{align} \frac{\Delta s}{\Delta x} &≒ \sqrt{ \left( \frac{\Delta x}{\Delta x} \right)^2 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2} \end{align}\), \(\Delta x \to 0\) のとき、両辺の差は \(0\) に近づくから, \(\displaystyle \frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2}\), これを \(x = a\) から \(x = b\) まで積分したときの曲線の長さ \(L\) は, \(\color{red}{\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx}\), \(\left\{\begin{array}{l}x = a\cos^3 t\\y = a\sin^3 t\end{array}\right.\), まずは導関数 \(\displaystyle \frac{dx}{dt}\), \(\displaystyle \frac{dy}{dt}\) を求めましょう。, \(\displaystyle \frac{dx}{dt} = 3a\cos^2t (−\sin t)\), \(\displaystyle \frac{dy}{dt} = 3a\sin^2t (\cos t)\), \(\displaystyle \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2}\), \(= \sqrt{9a^2\cos^4t\sin^2t + 9a^2\sin^4t\cos^2t}\), \(= \sqrt{9a^2\cos^2t\sin^2t (\cos^2t + \sin^2t)}\), \(\displaystyle = \left| \frac{3}{2} a \sin 2t \right|\), \(a > 0\) より \(\displaystyle \frac{3}{2} a|\sin 2t|\), 絶対値がついているので、積分する面積をイメージしながら慎重に絶対値を外しましょう。, \(\displaystyle \int_0^{2\pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt\), \(\displaystyle = \frac{3}{2} a \int_0^{2\pi} |\sin 2t| dt\), \(\displaystyle = \frac{3}{2} a \cdot 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t dt\), \(\displaystyle = 6a \left[−\frac{1}{2} \cos 2t \right]_0^{\frac{\pi}{2}}\), \(y = \log(x + \sqrt{x^2 − 1})\) (\(\sqrt{2} \leq x \leq 4\)), \(\begin{align}\displaystyle \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 − 1}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 − 1}} \right)\\&= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 − 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 − 1}}{\sqrt{x^2 − 1}}\\&= \frac{1}{\sqrt{x^2 − 1}}\end{align}\), \(\begin{align}\displaystyle \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} &= \sqrt{1 + \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 − 1}} \right)^2}\\&= \sqrt{1 + \frac{1}{x^2 − 1}}\\&= \sqrt{\frac{x^2}{x^2 − 1}}\\&= \frac{x}{\sqrt{x^2 − 1}}\end{align}\), \(\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^4 \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx\), \(\displaystyle = \int_{\sqrt{2}}^4 \frac{x}{\sqrt{x^2 − 1}} dx\), \(\displaystyle = \left[\sqrt{x^2 − 1}\right]_{\sqrt{2}}^4\), \(x = 2t − 1\), \(y = e^t + e^{−t}\) (\(0 \leq t \leq 1\)), \(\displaystyle \frac{dy}{dt} = e^t − e^{−t}\), \(= e^t + e^{−t}\)(\(e^t > 0\), \(e^{−t} > 0\)), \(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt\), \(\displaystyle = \left( e − \frac{1}{e} \right) − (1 − 1)\), 答え: \(\color{red}{\displaystyle e − \frac{1}{e}}\), \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}\), \(\begin{align}\displaystyle \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} &= \sqrt{1 + \left( \frac{3}{2} \sqrt{x} \right)^2}\\&= \sqrt{1 + \frac{9}{4} x}\\&= \left( 1 + \frac{9}{4} x \right)^{\frac{1}{2}}\end{align}\), \(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} dx\), \(\displaystyle = \int_0^1 \left( 1 + \frac{9}{4} x \right)^{\frac{1}{2}} dx\), \(\displaystyle = \left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{9} \left( 1 + \frac{9}{4} x \right)^{\frac{3}{2}} \right]_0^1\), \(\displaystyle = \frac{8}{27} \left\{ \left( \frac{13}{4} \right)^{\frac{3}{2}} − 1^{\frac{3}{2}} \right\}\), \(\displaystyle = \frac{8}{27} \left\{ \left( \frac{\sqrt{13}}{2} \right)^3 − 1 \right\}\), \(\displaystyle = \frac{8}{27} \left( \frac{13\sqrt{13}}{8} − 1 \right)\), \(\displaystyle = \frac{13\sqrt{13} − 8}{27}\), 答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{13\sqrt{13} − 8}{27}}\). このページでは,曲線の長さ(弧長)を求める公式を紹介し,証明も厳密なものを含めて載せています. 数Ⅲ積分の教科書の終盤に出てきます.演習不足になりがちなので,当ページの問題で公式を使い慣れ … 媒介変数表示とは?グラフ(曲線や三角関数)や計算(微分積分、ベクトル)でのメリットをわかりやすく解説!. 曲線の長さの【積分公式】 面積や体積がそれらの導関数を積分して求められるように、曲線の長さ(弧長)も積分を利用して求めることができます。 曲線が媒介変数表示されている場合と、陽関数表示されている場合の 2 通りの公式があります。 数学 曲線の長さ 証明です。 (2)のbとcが全くわからないので教えてください。お願いします。 勉強Q&A. インボリュート曲線(伸開線)が出題されたときにちゃんと解けるようにしておきたい。最近出題された入試問題には円やカテナリーの伸開線がある。入試問題を解くことで,どういった点が重要なのか,しっかりと確認しておこう。 頂点で回転する部分の弧の長さとの和になります。 直線部分は各辺に平行で辺の長さと同じになります。 \( \mathrm{6\times 3=18}\) 弧の部分は「半径が1」の円の一部になります。 直径は2となりますが、「中心の通った曲線」なので半径は1です。 前回のベータ関数では2変数の漸化式のような関係式が現れたけど,入試問題の中には,様々な関数の定積分に... 部分分数分解を速く行う方法を説明していきます。考え方や手法を変えることで,数学Ⅲの積分問題で出題され... 通常なら置換して積分する積分問題を,置換せずに積分できるようになることで,解答を書く量を減らすことができます。結果的に,短時間で多くの問題を解くことができるようになるため,勉強効率もアップします。どのように考えれば,置換せずに積分することができるのかを具体的な問題を例に挙げて解説していきます。, ライプニッツ・グレゴリー級数とは,奇数の逆数を交互に足したり引いたりすることで π/4 に収束するものです。この級数を見た時点で,その名前が出てこなくても「確か π/4 に収束したような気がする」という感覚をもてるくらいになると良いかもしれません。, 1999年センター数学ⅡBの複素数平面の問題を解くときに,どのように考えて解いていくのかを説明します。方程式の解の意味を理解して,3次式の因数分解をできるようにすることが重要です。また,文章で書かれた内容を複素数平面上で図示できる力も大切です。, 楕円の定義と方程式の導出に始まり,覚えにくい楕円の焦点の覚え方も説明しています。また,媒介変数表示・極方程式・面積についてまとめています。. カージオイド曲線の媒介変数表示,曲線の描画,面積,曲線の長さ,回転体の体積について1つ1つ丁寧に説明します。 大学入試で出題される数学の問題を解くときの着眼点・考え方・解法の糸口の掴み方を … ところで曲線の長さを求める立式は簡単ですが,被積分関数が複雑なのである程度特殊な関数でないと手計算で計算することはできません。曲線の長さを計算できる関数はかなり限られているのです。, 【参考】これは式変形すればx2+y2=4なので原点中心,半径2の円の上側部分です。, 公式として覚えるのも1つの手ですが出題頻度もそれほど高くなく,比較的容易に導けるので導出推奨です。, 数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。, \(x=\theta-\sin{\theta} , y=1-\cos{\theta} (0 \leq \theta \leq 2\pi)\)の曲線の長さを求めよ。, 上野竜生です。文系科目が平均以下なのに現役で京都大学に合格。数学を中心としたブログを書いています。よろしくお願いします。, 1でx(t)=t, y(t)=f(t)としたものがy=f(x)なのでわざわざ覚える必要はありません。, \( \displaystyle y’=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}} \), \(\displaystyle \int_0^1 \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} dx \), よってx’=f'(θ)cosθ-f(θ)sinθ , y’=f'(θ)sinθ+f(θ)cosθとなるから, Facebook で共有するにはクリックしてください (新しいウィンドウで開きます). ログイン 新規登録. 2019/10/15

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